Grundlagen der Exponentialfunktionen: Wachstum und Zerfall

In diesem Artikel erklären wir, was Exponentialfunktionen sind und wie man mit diesen arbeitet. Solche Funktionen sind sehr wichtig, da man mit denen sehr häufig verschiedene Wachstumsszenarien ausdrückt. Exponentialfunktionen sind Funktionen, die die Unbekannte \(x\) in dem Exponenten haben. Die Funktion sieht demnach folgendermaßen aus:

Definition: Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion ist \(y=a^x\) mit \(a \in \mathbb{R}^+, a \neq 1, x \in \mathbb{R}\)

Die Funktion wird sehr oft auch als \( f(x)=a^x \) geschrieben, wobei a Basis und x Exponent ist. Die Basis kann alle beliebigen Werte größer Null außer Eins annehmen. Als Nächstes erklären wir, wieso diese Bedingungen wichtig sind.

Wieso darf die Basis nicht negativ sein?

Um diese Frage beantworten zu können, nehmen wir jetzt an, dass die Basis negativ wäre. Schauen wir uns Funktion \(f(x)=(-2)^x\) an. Für \(x=\frac{1}{2}\) würden wir Funktionswert \(y=\sqrt{-2}\) bekommen. Wir wissen allerdings, dass für negative Radikanden Wurzel nicht definiert ist.

Wieso darf die Basis nicht gleich 1 sein?

Für \(a=1\) bekommen wir \(f(x)=1^x\) und dies ist immer 1 (egal welchen wert x annimmt). Dies zeigt uns die untenstehende Tabelle:

x-5-3-1
0
135
y1111111

Der Graph der obigen Funktion ist deswegen eine Parallele zu der x-Achse.

Exponentialfunktionen bei Basis gleich 1

Graph einer Exponentialfunktion

Der Graph einer Exponentialfunktion wird als Exponentialkurve bezeichnet. Die Exponentialkurve kann entweder steigen (exponentielles Wachstum) oder sinken (exponentieller Zerfall). Dies hängt von der Basis a ab.

1) Basis a ist zwischen 0 und 1

Wenn a zwischen 0 und 1 ist, sprechen wir von exponentiellem Zerfall oder auch exponentieller Abnahme. Als Beispiel können wir folgende Funktion nehmen:
\(f(x)=(\frac{1}{2})^x\)
Um den Graph zeichnen zu können, ist es vorteilhaft Tabelle mit einigen Funktionswerten zu berechnen:

x-5-3-1
0
135
y32821\(\frac{1}{2}\)\(\frac{1}{8}\)\(\frac{1}{32}\)

Exponentialfunktionen bei Basis kleiner als 1

Wie man in dem Graph sehen kann, ist die Funktion streng monoton fallend! D.h. je größer x, desto kleiner y.

2) Basis a ist größer als 1

Wenn a größer als 1 ist, sprechen wir von exponentiellem Wachstum.  Als Beispiel können wir folgende Funktion nehmen:
\(g(x)=2^x\)
Um den Graph zeichnen zu können, ist es vorteilhaft Tabelle mit einigen Funktionswerten zu berechnen:

x-5-3-1
0
135
y\(\frac{1}{32}\)\(\frac{1}{8}\)\(\frac{1}{2}\)12832

Exponentialfunktionen bei Basis größer als 1

Hier kann man sehen, dass die Funktion streng monoton steigend ist! D.h. je größer x, desto größer y.

Interessante Eigenschaften von Exponentialfunktionen

Wenn wir jetzt beide Funktionen in einer Graphik zeichnen werden, stellen wir fest, dass Exponentialfunktionen interessante Eigenschaften haben:

Exponentialfunktionen_Achsensymetrie_zur y-Achse

    1. Der Definitonsbereich ist die Menge der reellen Zahlen. D.h. für jede x finden wir eine y.
    2. Alle Exponentialfunktionen verlaufen oberhalb der x-Achse. D.h.  die Wertemenge dieser Funktion ist Interval (0,∞).
    3. Alle Exponentialfunktionen schneiden die y-Achse im Punkt [0|1]. Dies ist aufgrund des Potenzgesetzes \(a^0=1\) für jede beliebige a.
    4. Alle Exponentialfunktionen kommen der x-Achse beliebig nahe aber schneiden diese nie. D.h. Exponentialfunktion hat keine Nullstellen! Die x-Achse ist eine Asymptote dieser Funktion.
    5. Die Exponentialfunktionen sind bezüglich der y-Achse achsensymmetrisch. D.h. wenn wir Funktionen \(f(x)=(\frac{1}{a})^x \text{ und } g(x)=a^x\) haben, gilt es \(f(-x)=g(x)\). Dies ist relativ einfach mit Hilfe von Potenzgesetzen zu beweisen: \(f(-x)=(\frac{1}{a})^{-x}=a^x=g(x)\). Du kannst mehr über die Achsensymmetrie zur y-Achse hier lesen.

Zusammenfassung der Eigenschaften

Die Exponentialfunktionen sind Funktionen die Wachstums- oder Abnahmeprozesse gut abbilden. In dem unteren Video wird eine Aufgabe mit exponentiellen Wachstum gezeigt:

Die wichtigsten Eigenschaften:

  • Funktionsgleichung: \( f(x) = a^x  \text{ mit } a \in \mathbb{R}^+, a \neq 1, x \in \mathbb{R}\)
  • Definitionsbereich: \(\mathbb{D}=\mathbb{R}\)
  • Wertebereich: \(\mathbb{W}=\mathbb{R}^+\)
  • Schnittpunkte mit y-Achse: P(0|1)
  • Schnittpunkte mit x-Achse: keine
  • Asymptote: x-Achse
  • Monotonie: monoton fallend für 0<a<1 und monoton steigend für a>1
  • Umkehrfunktion: Logarithmusfunktion \(f(x)=log_{a}x\)

Falls du weitere Fragen zu den Exponentialfunktionen hast und oder du mehr über der bekanntesten Exponentialfunktion, sog. e-Funktion, erfahren möchtest, kannst du einen von unseren Tutoren kontaktieren!

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